힐베르트 영점 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 힐베르트 영점 정리 (강한 형태)
- 2.2. 약한 형태의 힐베르트 영점 정리
3. 증명
4. 일반화
- 4.1. 제이콥슨 환
- 4.2. 스킴 이론
5. 사영 영점 정리 (Projective Nullstellensatz)
6. 해석적 영점 정리 (Analytic Nullstellensatz, Rückert’s Nullstellensatz)
7. 효율적인 영점 정리 (Effective Nullstellensatz)
8. 역사와 어원
참조

1. 개요

힐베르트 영점 정리는 대수학의 기본 정리로, 체, 대수적으로 닫힌 체, 다항식환, 아이디얼 등의 개념을 사용하여 정의된다. 이 정리는 다항식환의 아이디얼과 그 아이디얼의 영점(근의 집합) 사이의 관계를 설명하며, 강한 형태와 약한 형태로 나뉜다. 강한 형태는 아이디얼의 근기와 영점 집합의 아이디얼이 같다는 것을, 약한 형태는 단위 아이디얼이 아닌 아이디얼은 영점을 갖는다는 것을 나타낸다. 힐베르트 영점 정리는 제이콥슨 링 이론, 스킴 이론으로 일반화될 수 있으며, 해석적 영점 정리와 사영 영점 정리, 효율적인 영점 정리 등 다양한 형태로 확장된다. 효율적인 영점 정리는 다항식의 차수에 대한 상한을 제시하여 계산의 효율성을 높인다. 힐베르트 영점 정리는 1893년 다비트 힐베르트에 의해 증명되었으며, 독일어 'Nullstellensatz'에서 유래되었다.

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힐베르트 영점 정리

2. 정의

$k$ 가 체이고, $K$ 가 $k$ 의 대수적으로 닫힌 확대라고 하자. $I$ 를 다항식환 $k[x_1,x_2,\dotsc,x_n]$ 의 아이디얼이라고 하면, $J$ 에 대하여 그 영점(근의 집합)의 교집합 $\mathcal V(J)\subset K^n$ 를 정의할 수 있다. 여기서 $K^n$ 는 $K$ 에 대한 $n$ 차원 아핀 공간이며, $\mathcal V(J)$ 는 정의상 대수 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 $W\subset K^n$ 가 주어지면, 그 영점이 $W$ 를 포함하는 다항식들의 집합 $\mathcal I(W)\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]$ 를 정의할 수 있고, 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트 영점 정리는 이러한 아이디얼과 대수 집합 사이의 관계를 설명한다.

2. 1. 힐베르트 영점 정리 (강한 형태)

Nullstellensatz|눌슈텔렌자츠^de는 다항식환

k[x_1,x_2,\dots,x_n]

의 아이디얼

J

에 대하여, 다음과 같은 관계를 만족한다는 정리이다.

:

\mathcal I(\mathcal V(J))=\sqrt J

여기서

\sqrt J

는

J

의 소근기이다.^[1]

즉,

J

의 영점으로 정의되는 대수 집합의 아이디얼은

J

의 근기와 같다.

$k$ 는 체
$K$ 는 $k$ 의 대수적으로 닫힌 확대
$\mathcal V(J)$ 는 아이디얼 $J$ 의 영점(근의 집합)의 교집합 ( $K$ 에 대한 $n$ 차원 아핀 공간 $K^n$ 의 부분집합)
$\mathcal I(W)$ 는 대수적 집합 $W\subset K^n$ 가 주어지면, 그 영점이 $W$ 를 포함하는 다항식들의 집합

k

가 대수적으로 닫힌 경우 (

k=K

),

\mathcal V

와

I

는

k[x_1,x_2,\dots,x_n]

의 반소 아이디얼의 집합과

k^n

의 대수 집합의 집합 사이의 전단사 함수이며, 서로 역함수이다. 다항식환의 소 아이디얼은

K^n

의 대수다양체(기약 대수 집합)에 일대일로 대응한다.

일반적인 표기법을 사용하면 영점 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}

이러한 방식으로,

k = K

일 때 ''K''^''n''의 대수적 집합과

K[X_1, \ldots, X_n]

의 근 아이디얼 사이에 순서를 뒤집는 전단사 대응을 얻는다.

점

P = (a_1, \dots, a_n) \in K^n

을 예로 들면,

I(P) = (X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)

이다. 더 일반적으로,

:

\sqrt{I} = \bigcap_{(a_1, \dots, a_n) \in V(I)}  (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n).

반대로, 다항식 환

K[X_1,\ldots,X_n]

의 모든 극대 아이디얼 (여기서

K

는 대수적으로 닫혀 있다)은 어떤

a_1,\ldots,a_n \in K

에 대해

(X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)

의 형태이다.

''K''^''n''의 대수적 부분 집합 ''W''가 (자리스키 위상에서) 기약인 것과

I(W)

가 소 아이디얼인 것은 동치이다.

2. 2. 약한 형태의 힐베르트 영점 정리

'''약한 힐베르트 영점 정리'''(weak Nullstellensatz^영어)에 따르면, 다항식 환

k[x_1,\dotsc,x_n]

의 아이디얼

J

가 단위 아이디얼이 아니면(

J\ne k[x_1,\dots,x_n]

),

J

는 영점을 가진다(

\mathcal V(J)\ne\emptyset

).^[1]

만약

k

가 대수적으로 닫힌 체인 경우,

k[x_1,\dots,x_n]

의 모든 극대 아이디얼

J

는 다음과 같은 꼴이다.

:

J=(x_1-a_1, \dots, x_n-a_n)

(

a_i\in k

).

체

k

(예: 유리수)의 대수적으로 닫힌 체 확대

K

(예: 복소수)를 생각하자. 다항식 환

k[X_1, \ldots, X_n]

의 아이디얼

I

에 의해 정의된 대수적 집합

\mathrm V(I)

는

I

에 속하는 모든 다항식

f

에 대해

f(\mathbf x) = 0

을 만족하는

K^n

의 원소

\mathbf x = (x_1, \dots, x_n)

들로 구성된다.

약한 영점 정리에 따르면, 아이디얼

I \subseteq k[X_1, \ldots, X_n]

이 1을 포함하는 경우는

I

의 다항식이 ''Kⁿ''에서 공통된 영점을 갖지 않는 경우뿐이다. ^[2] 특히

k=K=\mathbb{C}, n=1

인 경우, 대수학의 기본 정리에 의해

\mathbb{C}[X]

의 다항식 ''P''는 deg ''P'' ≠ 0 이면

\mathbb{C}

에 근을 가진다. 이러한 이유로, (약한) 영점 정리는 다변수 다항식에 대한 대수학의 기본 정리의 일반화라고 할 수 있다.^[2]

다르게 표현하면, ''I''가

k[X_1, \ldots, X_n]

의 고유 아이디얼이라면, V(''I'')는 공집합이 아니다. 즉, ''k''의 모든 대수적으로 닫힌 확장에서 아이디얼의 모든 다항식에 대한 공통 영점이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체에서 공통 영점을 고려한다는 가정이 중요하다. 예를 들어,

\R[X]

의 고유 아이디얼 (''X''² + 1)의 원소는

\R

에서 공통 영점을 갖지 않는다.

3. 증명

힐베르트 영점 정리의 증명은 여러 가지가 알려져 있다. 일부는 첫 번째 증명과 같이 비구성적이다. 다른 증명은 아이디얼 생성자들의 선형 결합으로 1 또는 p^r을 표현하는 알고리즘에 기반한 구성적 증명이다.

3. 1. 자리스키 보조정리를 이용한 증명

자리스키 보조정리에 따르면, 어떤 체가 체 k^영어 위의 유한 생성 대수로서 유한 생성되면, 이는 k^영어의 유한 차수 체 확대가 된다(즉, 벡터 공간으로서도 유한 생성된다).^[3]

다음은 이 보조정리를 이용한 증명의 개요이다.^[3]

A = k[t_1, \ldots, t_n]

(k^영어는 대수적으로 닫힌 체)라고 하자. ''I''는 ''A''의 아이디얼이고, ''V''는

k^n

에서 ''I''의 공통 영점이라고 하자. 명백히,

\sqrt{I} \subseteq I(V)

이다.

f \not\in \sqrt{I}

라고 하자. 그러면 ''A''에서 어떤 소 아이디얼

\mathfrak{p}\supseteq I

에 대해

f \not\in \mathfrak{p}

이다.

R = (A/\mathfrak{p}) [f^{-1}]

이고,

\mathfrak{m}

은

R

의 극대 아이디얼이라고 하자. 자리스키 보조정리에 의해,

R/\mathfrak{m}

는 k^영어의 유한 차수 확대이며, k^영어가 대수적으로 닫혀 있으므로 이는 k^영어이다.

x_i

를 자연 사상

A \to k

에 의해

t_i

의 상이라고 하자. 이 사상은

R

을 통과한다. 따라서

x = (x_1, \ldots, x_n) \in V

이고

f(x) \ne 0

이다.

3. 2. 결정체를 이용한 증명

변수와 다른 변수에 의존하는 두 다항식의 결정체는 두 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하며, 다음과 같은 속성을 갖는 다른 변수의 다항식이다. 다항식 중 하나가에서 모닉 다항식이면, 결정체의 모든 영점(다른 변수에서)은 두 다항식의 공통 영점으로 확장될 수 있다.

증명은 다음과 같다.

아이디얼이 에 의존하는 비상수 다항식에 의해 생성된 주 아이디얼인 경우, 다른 변수에 임의의 값을 선택한다. 대수학의 기본 정리는 이 선택이 의 영점으로 확장될 수 있음을 주장한다.

여러 다항식

p_1,\ldots, p_n,

의 경우 변수의 선형 변환을 통해

p_1

이 첫 번째 변수 에서 모닉이라고 가정할 수 있다. 그런 다음

n-1

개의 새로운 변수

u_2, \ldots, u_n,

을 도입하고 결정체를 고려한다.

:

R=\operatorname{Res}_x(p_1,u_2p_2+\cdots +u_np_n).

은

p_1,\ldots, p_n,

에 의해 생성된 아이디얼에 속하므로,

u_2, \ldots, u_n.

에서 단항식의 에 있는 계수에도 동일하게 적용된다. 따라서, 만약 이 이러한 계수에 의해 생성된 아이디얼에 속한다면,

p_1,\ldots, p_n,

에 의해 생성된 아이디얼에도 속한다. 반면에, 이러한 계수가 공통 영점을 가지면, 결정체의 위 속성에 의해 이 영점은

p_1,\ldots, p_n,

의 공통 영점으로 확장될 수 있다.

이것은 변수의 개수에 대한 귀납법을 통해 약한 널스텔렌자츠를 증명한다.

3. 3. 그뢰브너 기저를 이용한 증명

그뢰브너 기저는 1973년 브루노 부흐베르거가 소개한 알고리즘 개념이다. 전산 기하학에서 기본적인 역할을 한다. 그뢰브너 기저는 아이디얼의 대부분의 속성을 쉽게 추출할 수 있는 특별한 아이디얼 생성 집합이다.

강한 널스텔렌자츠(힐베르트 영점 정리): 의 거듭제곱이 아이디얼 에 속하는 것은 에 의한 의 포화가 그뢰브너 기저 을 생성하는 것과 필요충분 조건이다. 따라서 강한 널스텔렌자츠는 포화의 정의로부터 거의 즉시 도출된다.

4. 일반화

영점 정리는 제이콥슨 링 이론으로 확장될 수 있다. 여기서 제이콥슨 환은 모든 근기 아이디어가 극대 아이디얼들의 교집합인 환을 의미한다.^[4]

또한, 영점 정리는 스킴 이론으로도 일반화될 수 있다. 임의의 체 ''k''와 0이 아닌 유한 생성된 ''k''-대수 ''R''에 대해 사상 $\mathrm{Spec} \, R \to \mathrm{Spec} \, k$ 가 단면을 에탈-국소적으로 허용한다는 관점으로 볼 수 있다. 이는 $L/k$ 에 대한 어떤 유한 체 확장 $\mathrm{Spec} \, L \to \mathrm{Spec} \, k$ 를 따르는 기저 변환 후와 동치이다.^[6]

이러한 맥락에서, 스킴의 충실히 평탄한 사상 $f: Y \to X$ 는 국소적으로 유한 표현이며, ''준-단면''을 허용한다. 즉, $g: X' \to X$ 가 존재하여 $f$ 를 따라 $f$ 의 기저 변환 $f': Y \times_X X' \to X'$ 을 허용하는 충실히 평탄하고 국소적으로 준유한 사상이다. 또한, $X$ 가 준-콤팩트 (혹은 준-콤팩트 및 준-분리)라면, $X'$ 를 아핀으로 취할 수 있고 (혹은 $X'$ 는 아핀이고 $g$ 는 준-유한), 만약 $f$ 가 매끄럽고 전사라면, $g$ 를 에탈로 취할 수 있다.^[6]

세르주 랭은 무한히 많은 생성자의 경우에 대한 영점 정리의 확장을 제시했다. $\kappa$ 를 무한 기수라고 하고, $K$ 를 그 소체에 대한 초월 차수가 $\kappa$ 보다 엄격하게 큰 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그러면, 기수가 $\kappa$ 인 모든 집합 $S$ 에 대해, 다항식 링 $A = K[x_i]_{i \in S}$ 는 영점 정리를 만족한다. 즉, 모든 아이디얼 $J \sub A$ 에 대해 $\sqrt{J} = \hbox{I} (\hbox{V} (J))$ 이다.^[7]

4. 1. 제이콥슨 환

제이콥슨 링 이론은 모든 근기 아이디어가 극대 아이디얼들의 교집합인 환을 다루며, 이는 영점 정리와 깊은 관련이 있다. 자리스키 보조정리에 따르면, 체 ''k''에 대해 유한 생성된 ''k''-대수 ''R''은 제이콥슨 환이다. 더 일반적으로, 다음 정리가 성립한다.^[4]

:

R

을 제이콥슨 환이라고 하자. 만약

S

가 유한 생성된 ''R''-대수라면,

S

는 제이콥슨 환이다. 또한, 만약

\mathfrak{n}\subseteq S

가 극대 아이디얼이라면,

\mathfrak{m} := \mathfrak{n} \cap R

은

R

의 극대 아이디얼이며,

S/\mathfrak{n}

은

R/\mathfrak{m}

의 유한 확장이다.^[4]

4. 2. 스킴 이론

제이콥슨 링 이론을 통해 영점 정리를 확장할 수 있다. 자리스키 보조정리에 따르면, 체 ''k''에 대해 유한 생성된 ''k''-대수 ''R''은 제이콥슨 링이다. 더 일반적으로, 제이콥슨 링

R

에 대해 유한 생성된 ''R''-대수

S

도 제이콥슨 링이며,

S

의 극대 아이디얼

\mathfrak{n}

에 대해

\mathfrak{m} := \mathfrak{n} \cap R

은

R

의 극대 아이디얼이고,

S/\mathfrak{n}

은

R/\mathfrak{m}

의 유한 확장이다.^[4]

영점 정리는 스킴 이론적으로 해석할 수도 있다. 즉, 체 ''k''와 0이 아닌 유한 생성된 ''k''-대수 ''R''에 대해 사상

\mathrm{Spec} \, R \to \mathrm{Spec} \, k

가 단면을 에탈-국소적으로 허용하는 것으로 본다. 이는

L/k

에 대한 어떤 유한 체 확장

\mathrm{Spec} \, L \to \mathrm{Spec} \, k

를 따르는 기저 변환 후와 동치이다. 스킴의 충실히 평탄한 사상

f: Y \to X

는 국소적으로 유한 표현이며, ''준-단면''을 허용한다.^[6]

세르주 랭은 무한히 많은 생성자의 경우에 대한 영점 정리의 확장을 제시했다.^[7]

5. 사영 영점 정리 (Projective Nullstellensatz)

다항식의 균차 아이디얼과 사영 공간의 대수적 부분 집합 사이의 특정 대응 관계를 공식화할 수 있으며, 이를 '''사영 널스텔렌자츠'''라고 부른다. 이는 아핀 널스텔렌자츠와 유사하다. 이를 위해 몇 가지 표기법을 도입한다. $R = k[t_0, \ldots, t_n]$ 이라고 할때, 균차 아이디얼,

: $R_+ = \bigoplus_{d \geqslant 1} R_d$

를 ''최대 균차 아이디얼''이라고 한다(무관 아이디얼 참조). 아핀 경우와 마찬가지로, 부분 집합 $S \subseteq \mathbb{P}^n$ 과 ''R''의 균차 아이디얼 ''I''에 대해,

: $\begin{align}\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S) &= \{ f \in R_+ \mid f = 0 \text{ on } S \}, \\\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I) &= \{ x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f \in I \}.\end{align}$

로 정의한다. $f = 0 \text{ on } S$ 는 ''S''의 점의 모든 균차 좌표 $(a_0 : \cdots : a_n)$ 에 대해 $f(a_0,\ldots, a_n)=0$ 임을 의미한다. 이는 ''f''의 균차 성분도 ''S''에서 0이 됨을 의미하며, 따라서 $\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S)$ 는 균차 아이디얼이다. 동치적으로, $\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S)$ 는 ''S''에서 사라지는 균차 다항식 ''f''에 의해 생성된 균차 아이디얼이다.

이제, 모든 균차 아이디얼 $I \subseteq R_+$ 에 대해, 일반적인 널스텔렌자츠에 의해, 다음을 얻는다.

: $\sqrt{I} = \operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I)),$

따라서, 아핀 경우와 마찬가지로, 다음이 성립한다.^[11]

:''R''의 진 균차 근기 아이디얼과 $\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I)$ 형태의 $\mathbb{P}^n$ 의 부분 집합 사이에는 순서를 반전시키는 일대일 대응이 존재한다. 이 대응은 $\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}$ 과 $\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}$ 에 의해 주어진다.

6. 해석적 영점 정리 (Analytic Nullstellensatz, Rückert’s Nullstellensatz)

영점 정리는 복소수 ''n'' 공간 ℂⁿ^영어의 한 점에서의 정칙 함수(holomorphic function)의 씨앗(germ)에 대해서도 성립한다. 정확히 말하면, 각 열린 부분 집합 U ⊆ ℂⁿ^영어에 대해, O_ℂⁿ(U)^영어를 ''U''에 대한 정칙 함수의 링으로 나타내면, O_ℂⁿ^영어는 ℂⁿ^영어 위의 층이다. 예를 들어 원점에서의 줄기(stalk) O_{ℂⁿ, 0}^영어는 뇌터 국소환이며, 고유 인수 분해 정역임을 알 수 있다.

만약 f ∈ O_{ℂⁿ, 0}^영어이 정칙 함수 f̃: U → ℂ^영어로 표현되는 씨앗이라면, V₀(f)^영어를 다음 집합의 동치류로 정의한다.

:{ z ∈ U | f̃(z) = 0 ^영어}.

여기서 두 부분 집합 X, Y ⊆ ℂⁿ^영어은 0의 어떤 근방 ''U''에 대해 X ∩ U = Y ∩ U^영어이면 동등한 것으로 간주한다. V₀(f)^영어는 표현자 f̃^영어의 선택에 독립적이다. 각 이상 I ⊆ O_ℂⁿ,0^영어에 대해, V₀(I)^영어는 ''I''의 생성자 f₁, …, f_r^영어에 대해 V₀(f₁) ∩ … ∩ V₀(f_r)^영어로 나타낸다. 이는 잘 정의되어 있으며, 생성자의 선택에 독립적이다.

각 부분 집합 X ⊆ ℂⁿ^영어에 대해,

:I₀(X) = { f ∈ O_ℂⁿ,0 | V₀(f) ⊃ X ^영어}

로 정의한다. I₀(X)^영어가 O_{ℂⁿ, 0}^영어의 이상이고, 위에서 논의된 의미에서 X ∼ Y^영어이면 I₀(X) = I₀(Y)^영어임을 쉽게 알 수 있다.

그러면 '''해석적 영점 정리'''는 다음과 같이 진술한다:^[12] 각 이상 I ⊆ O_{ℂⁿ, 0}^영어에 대해,

:√I = I₀(V₀(I))^영어

가 성립한다. 여기서 좌변은 ''I''의 근기이다.

7. 효율적인 영점 정리 (Effective Nullstellensatz)

힐베르트 영점 정리(Hilbert's Nullstellensatz)는 어떤 다항식 g^영어가, f₁, ..., f_k^영어에 의해 생성된 아이디얼에 속하는지 여부를 알려준다. 일반적인 영점 정리 증명은 g_i^영어를 계산하는 방법을 제시하지 않아 비효율적이다.

따라서 g_i^영어를 계산하거나, 존재하지 않음을 증명하는 효율적인 방법을 찾는 것은 자연스러운 질문이다. 이 문제를 해결하기 위해 g_i^영어의 총 차수에 대한 상한을 제공하면, 문제를 유한한 선형 방정식 시스템으로 줄여 선형대수학 기법으로 해결할 수 있다. 이러한 상한을 효율적인 영점 정리라고 한다.

이와 관련된 아이디얼 멤버십 문제는 다항식이 아이디얼에 속하는지 여부를 테스트하는 문제이다. 이 문제 역시 g_i^영어의 차수에 대한 상한으로 해결된다.

1925년, 그레테 헤르만은 변수의 수에 대해 이중 지수적인 아이디얼 멤버십 문제에 대한 상한을 제시했다. 1982년, Mayr와 Meyer는 g_i^영어의 차수가 적어도 이중 지수적인 예시를 제시하여, 아이디얼 멤버십 문제에 대한 모든 일반적인 상한이 변수의 수에 대해 이중 지수적임을 보였다.

1987년, W. 데일 브라우너웰은 변수의 수에 대해 단순히 지수적인 효율적인 영점 정리에 대한 상한을 제시했다.^[8] 1년 후, 야노스 콜라르는 약간 더 나은 상한에 대한 순수하게 대수적인 증명을 제시했다.^[9]

약한 영점 정리의 경우, 콜라르의 상한은 다음과 같다.

f₁, ..., f_s^영어를 총 차수 d₁ ≥ ... ≥ d_s^영어인 n ≥ 2^영어개의 변수를 가진 다항식이라고 하자. 만약 f₁g₁ + ... + f_sg_s = 1^영어을 만족하는 다항식 g_i^영어가 존재한다면, 다음을 만족하도록 선택할 수 있다.

: $\deg(f_ig_i) \le \max(d_s,3)\prod_{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_j,3).$

만약 d^영어가 f_i^영어의 차수의 최댓값이라면, 이 상한은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

: $\max(3,d)^{\min(n,s)}.$

M. Sombra는 다음과 같은 개선을 제시했다.^[10]

: $\deg(f_ig_i) \le 2d_s\prod_{j=1}^{\min(n,s)-1}d_j.$

8. 역사와 어원

다비트 힐베르트가 1893년에 증명하였다.^[13] 이 정리의 독일어명 Nullstellensatz|눌슈텔렌자츠^de는 'Null|눌^de(영) + Stellen|슈텔렌^de(위치들) + Satz|자츠^de(정리)'의 합성어이다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra https://link.springe[...] Springer International Publishing 2015
_[3] 서적
_[4] 웹사이트 Jacobson rings http://www.math.uchi[...]
_[5] 문서 Éléments de géométrie algébrique
_[6] 문서
_[7] 논문 Hilbert's Nullstellensatz in Infinite-Dimensional Space https://www.jstor.or[...] 1952
_[8] 논문 Bounds for the degrees in the Nullstellensatz
_[9] 논문 Sharp Effective Nullstellensatz http://www.math.ucda[...] 2012-10-14
_[10] 논문 A Sparse Effective Nullstellensatz
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 저널 1893-09-01

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